<cmath>数学库中的函数

#include <iostream>  
#include <cmath>
using namespace std; 

int main(){ 
    cout << ceil(3.5) << " " << ceil(-3.5) << endl;

    // 向下取整
    cout << floor(3.5) << " " << floor(-3.5) << endl;

    // int 取整
    cout << int(3.5) << " " << int(-3.5) << endl;

    // 开方
    cout << sqrt(2) << " " << sqrt(9) << endl;

    // 乘方\幂
    cout << pow(2, 10) << endl;

    // 四舍五入
    cout << round(3.5) << " " << round(3.49) << endl;
    cout << int(3.5 + 0.5) << endl;

    // log 对数  底默认为自然数 e = 2.71828..... 无限不循环
    cout << log(2.71828) << endl;
    cout << log(10) / log(2) << endl;

    return 0;
}

平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点的数轴。 其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。 这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系。

坐标系中表示点的坐标 (x坐标, y坐标)

两点距离公式

已知两点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 两点间距离公式：dis = $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

指数与对数

N =$a^x$ a:底数 x:指数 N:幂 N为a的x次幂

x = $log_aN$ a:底数 N:真数 x:对数 x是以a为底N的对数

编程时，可以利用换底公式求出任意对数值： $log_ab=logb / loga$

同余定理

同余关系

给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足(a-b)能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。

a≡b(mod m)，即两个整数a、b除以整数m所得的余数相等。

①反身性：a ≡ a(mod m)

②对称性：若 a ≡ b(mod m)，则 b ≡ a(mod m)

③传递性：a ≡ b(mod m)，b ≡ c(mod m)，则 a ≡ c(mod m)

④同余式相加： a ≡ b(mod m)，c ≡ d(mod m)，则 a ± c ≡ b ± d(mod m)

⑤同余式相乘：a ≡ b(mod m)，c ≡ d(mod m)，则 ac ≡ bd(mod m)

⑥线性运算：a ≡ b(mod m)，c ≡ d(mod m)，则 a ± c ≡ b ± d(mod m)，a c ≡ b d(mod m)...

同余定理加法乘法应用

(a + b)%m = (a%m + b%m)%m

(a - b)%m = (a%m - b%m)%m

(a b)%m = (a%m b%m) %m

如果只有加、减、乘运算，求结果对m取模，可以在运算的过程中让中间结果对m取模。

例：(a+b*c)%m = (a%m + (b%m * c%m)%m)%m

约数和质数

约数（又称因数）：整数a能够整除b，我们就说a是b的约数。

分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数。

质数（又称素数）：是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

合数：在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。

1 既不属于质数也不属于合数。

m = $p_1^{\alpha_1}$ $p_2^{\alpha_2}$ ... $p_k^{\alpha_k}$ 其中，$p_1,p_2,...,p_k$ 都是质数。

最大公约数与最小公倍数

几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。

辗转相除法： 用较大数除以较小数，得到余数。 若余数为0，那么上一次除法中的除数就是最大公约数。 若余数不为0，那么下一次的除法为上一次除法中的除数除以余数。 重复这一过程，直到得到最大公约数 。

两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。

若两个整数a，b的最大公约数是gcd(a,b)，最小公倍数是lcm(a,b)，那么有：

a * b = gcd(a,b) * lcm(a,b)

lcm(a,b) = a / gcd(a,b) * b

数制概念

数制：是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。

数码：数制中表示基本数值大小的不同数字符号。

基数：数制所使用数码的个数。

位权：数制中某一位上的1所表示数值的大小。

例：123中，1的位权是100，2的位权是10，3的位权是1

按位权展开：把数字写成数码乘位权的加和形式

123 = 1*100 + 2*10 + 3

区别不同进制数字的记法：$(1101)_2$ $(703)_8$ $(5F)_{16}$

　二进制

二进制 Binary （简写：B）

数码：0、1

基数：2

例：

$(101)_2 = 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = (5)_{10}$

$(1101)_2 = 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = (13)_{10}$

八进制

八进制 Octal （简写：O，Oct）

数码：0、1、2、3、4、5、6、7

基数：8

例：

$(15)_8 = 1*8^1 + 5*8^0 = (13)_{10}$

$(101)_8 = 1*8^2 + 0*8^1 + 1*8^0 = (65)_{10}$

十进制

十进制 Decimal （简写：D，Dec）

数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9

基数：10

例：

$(1234)_{10} = 1*10^3 + 2*10^2 + 3*10^1 + 4*10^0$

$(101)_{10} = 1*10^2 + 0*10^1 + 1*10^0$

十六进制

十六进制 Hexadecimal （简写：H，Hex, x）

数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F

基数：16

例：

$(3F)_{16} = 3*16^1 + 15*16^0 = (63)_{10}$

$(101)_{16} = 1*16^2 + 0*16^1 + 1*16^0 = (257)_{10}$

二进制、八进制、十六进制的关系

N进制数字串转为十进制

按位权展开

十进制整数转其它进制

除基取余

信息编码

机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。

有符号机器数的最高位为符号位，0 表示正数，1 表示负数。

将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

真值：3 机器数：0000 0011

真值：-3 机器数：1000 0011

原码反码补码

原码：符号位加上真值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值。

反码：

• 正数的反码与原码相同

• 负数的反码：符号位不变，其余各位取反

补码：

• 正数的补码与原码相同

• 负数的补码：反码加 1

位运算

位逻辑运算符

位移运算符

运算符优先级

第5次作业